Question

如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是

1. A.
   △BPQ是等边三角形
2. B.
   △PCQ是直角三角形
3. C.
   ∠APB=150°
4. D.
   ∠APC=135°

Answer 1

D
分析：根据等边三角形性质得出∠ABC=60°，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判断C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D．
解答：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=BP=4，
∵PQ²+QC²=4²+3²=25，PC²=5²=25，
∴PQ²+QC²=PC²，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠BOQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PQ≠QC，
∴∠QPC≠45°，
即∠APC≠135°，
∴选项A、B、C正确，选项D错误．
故选D．
点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．