题目内容

【题目】我们运用图(Ⅰ)中大正方形的面积可表示为(a+b)2 , 也可表示为c3+4(ab),即(a+b)2=c2+4(ab)由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2 , 这个重要的结论就是著名的“勾股定理”.这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.

(1)请你用图(Ⅱ)(2002年国际数学家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c).
(2)请你用(Ⅲ)提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证:(x+2y)2=x2+4xy+4y2

【答案】解:(1)S阴影=4×ab,S阴影=c2﹣(a﹣b)2
∴4×ab=c2﹣(a﹣b)2 , 即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2
则a2+b2=c2
(2)如图所示,

大正方形的面积为x2+4y2+4xy,也可以为(x+2y)2
则(x+2y)2=x2+4xy+4y2
【解析】(1)阴影部分面积由大正方形面积减去小正方形面积,也可以由四个直角三角形面积之和求出,两者相等即可得证;
(2)拼成如图所示图形,根据大正方形边长为x+2y,表示出正方形面积,再由两个小正方形与两个矩形面积之和求出,即可验证.

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