题目内容

【题目】如图,AB=AC,点O在AB上,⊙O过点B,分别与BC、AB交于D、E,过D作DF⊥AC于F.

(1)求证:DF是⊙O的切线;

(2)若AC与⊙O相切于点G,⊙O的半径为3,CF=1,求AC长.

【答案】(1)证明见解析;(2)AC=8.

【解析】

(1)连接OD,由AB=AC,利用等边对等角得到一对角相等,再由OB=OD,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到ODAC平行,根据DF垂直于AC,得到DF垂直于OD,即可确定出DF为圆O的切线;

(2)连接OG,由AC为圆O的切线,利用切线的性质得到OG垂直于AC,利用三个角为直角且邻边相等的四边形为正方形得到ODFG为正方形,且边长为3,设AB=AC=x,表示出OAAG,在直角三角形AOG中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为AC的长.

(1)连接OD,

AB=AC,

∴∠B=C,

OB=OD,

∴∠B=ODB,

∴∠ODB=C,

ODAC,

DFAC,

ODDF,

DF为圆O的切线;

(2)连接OG,

AC与圆O相切,

OGAC,

∴∠OGF=GFD=ODF=90°,且OG=OD,

∴四边形ODFG为边长为3的正方形,

AB=AC=x,则有AG=x﹣3﹣1=x﹣4,AO=x﹣3,

RtAOG中,利用勾股定理得:AO2=AG2+OG2,即(x﹣3)2=(x﹣4)2+32

解得:x=8,

AC=8.

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