题目内容
【题目】如图,AB=AC,点O在AB上,⊙O过点B,分别与BC、AB交于D、E,过D作DF⊥AC于F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若AC与⊙O相切于点G,⊙O的半径为3,CF=1,求AC长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AC=8.
【解析】
(1)连接OD,由AB=AC,利用等边对等角得到一对角相等,再由OB=OD,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到OD与AC平行,根据DF垂直于AC,得到DF垂直于OD,即可确定出DF为圆O的切线;
(2)连接OG,由AC为圆O的切线,利用切线的性质得到OG垂直于AC,利用三个角为直角且邻边相等的四边形为正方形得到ODFG为正方形,且边长为3,设AB=AC=x,表示出OA与AG,在直角三角形AOG中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为AC的长.
(1)连接OD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
则DF为圆O的切线;
(2)连接OG,
∵AC与圆O相切,
∴OG⊥AC,
∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°,且OG=OD,
∴四边形ODFG为边长为3的正方形,
设AB=AC=x,则有AG=x﹣3﹣1=x﹣4,AO=x﹣3,
在Rt△AOG中,利用勾股定理得:AO2=AG2+OG2,即(x﹣3)2=(x﹣4)2+32,
解得:x=8,
则AC=8.

练习册系列答案
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册数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
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关于这组数据,下列说法正确的是( )
A.众数是2册B.中位数是2册
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