Question

（2010•通州区一模）小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形．
（1）如图①所示△ABC，△DBE，两直角边交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接BF、AD，则线段BF与线段AD的数量关系是______；直线BF与直线AD的位置关系是______，并求证：FG+DC=AC；
（2）如果小华将两块三角板△ABC，△DBE如图②所示摆放，使D、B、C三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AE于点G，连接AD，FB，则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是______；
（3）在（2）的条件下，若AG=，DC=5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图③），线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG=2，求线段MN的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）BF、ED的数量关系应该是相等，可通过证△BEF≌△BEA来得到这个结论，易证得△AEF、△BED都是等腰直角三角形，则AE=EF、BE=DE，即可证得所求的三角形全等；进而可得∠BFE=∠BAD，由于∠EBF、∠BFE互余，因此∠EBF、∠BAD也互余，由此得BF、AD互相垂直；易知△AFG、△CDF是等腰直角三角形，则AF=FG、CD=CF，即可证得AC=FG+CD．
（2）解法同（1）．
（3）此题较复杂，易得△ABC、△FCD、△AFG、△BED都是等腰直角三角形，根据已知条件先求得AC、BC、BD、CF、BG的长，过B作BH⊥FG于H，过P作PK⊥AG于K；已知PG的长，易求得PK、KG的值，进而可求得BK的长；易证得△BQH∽△BPK，根据得到的比例线段，可求得QH的长，进而可得FQ的长，然后通过△FQM∽△DBM，可求得DM的长，进而由△BDN∽△PFN求出DN的值，即可根据MN=DM-DN求出MN的值．
解答：解：（1）结论：
则线段BF与线段AC的数量关系是：相等；直线BF与直线AC的位置关系是：互相垂直；（1分）
理由：∵△ABD是等腰直角三角形，且FG∥BD，
∴△AFG、△AEF都是等腰直角三角形；
而∠ABD=∠FCD=45°，则△BEC也是等腰直角三角形，
∴AE=EF，BE=CF，
又∵∠AEC=∠BEF=90°，
∴△BEF≌△CEA，得BF=AC，∠BFE=∠CAE；
∵∠EBF+∠BFE=90°，故∠EBF+∠CAE=90°，即BF、AC互相垂直．
证明：∵△ABC、△BDE是等腰直角三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CFD=45°，
∴CD=CF；（2分）
∵FG∥BC，∠AGF=∠ABC=45°，
∴FG=AF，
∵AD=AF+FC，
∴AD=FG+DC．（3分）

（2）FG、DC、AD之间满足的数量关系式是FG=DC+AC（解法同（1））．（4分）

（3）过点B作BH⊥FG垂足为H，过点P作PK⊥AG垂足为K；（5分）
∵FG∥BC，C、D、B在一条直线上，
可证△AFG、△DCF是等腰直角三角形，
∵AG=7，CD=5，
∴根据勾股定理得：AF=FG=7，FD=5，
∴AC=BC=2，
∴BD=3；
∵BH⊥FG，
∴BH∥CF，∠BHF=90°，
∵FG∥BC，
∴四边形CFHB是矩形，
∴BH=5，FH=2；
∵FG∥BC，
∴∠G=45°，
∴HG=BH=5，BG=5；
∵PK⊥AG，PG=2，
∴PK=KG=，
∴BK=5-=4；
∵∠PBQ=45°，∠HGB=45°，
∴∠GBH=45°，
∴∠1=∠2；
∵PK⊥AG，BH⊥FG，
∴∠BHQ=∠BKP=90°，
∴△BQH∽△BPK，
∴，
∴QH=，（6分）
∴；
∵FG∥BC，
∴∠D=∠MFQ，∠CBM=∠FQM，
∴△FQM∽△DBM，可求得DM=4；（7分）
∵∠D=∠MFQ，∠DNB=∠FNP，
∴△BDN∽△PFN，
∴，
∴，
∴．（8分）
点评：此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，难度较大．