题目内容

【题目】已知:在ABC年,∠BAC=90°AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与BC重合).AD为边作正方形ADEF,连接CF.

1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:①BDCF. .

2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其它条件不变,请直接写出CFBCCD三条线段之间的关系;

3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点AF分别在直线BC的两侧,其它条件不变:

①请直接写出CFBCCD三条线段之间的关系,

②若连接正方形对角线AEDF,交点为0,连接OC,探究AOC的形状,并说明理由.

【答案】1)①见解析;②见解析;(2)见解析(3)①见解析;②见解析.

【解析】

1)①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=ACB=45°,再根据正方形的性质可得AD=AF,∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=CAF,然后利用边角边证明BADCAF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=ABD,再求出∠ACF+ACB=90°,从而得证;②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF,从而求出CF=BC-CD
2)与(1)同理可得BD=CF,然后结合图形可得CF=BC+CD
3)①与(1)同理可得BD=CF,然后结合图形可得CF=CD-BC;②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=ACB=45°,再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°,再根据同角的余角相等求出∠BAD=CAF,然后利用边角边证明BADCAF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=ABD,再求出∠FCD=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=DF,再根据正方形的对角线相等求出OC=OA,从而得到△AOC是等腰三角形.

1)证明:①∵∠BAC=90°AB=AC
∴∠ABC=ACB=45°
∵四边形ADEF是正方形,
AD=AF,∠DAF=90°
∵∠BAC=BAD+DAC=90°
DAF=CAF+DAC=90°
∴∠BAD=CAF

在△BAD和△CAF中,

∴△BAD≌△CAFSAS),
∴∠ACF=ABD=45°
∴∠ACF+ACB=90°
BDCF
②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF
BD=BC-CD
CF=BC-CD
2)与(1)同理可得BD=CF
所以,CF=BC+CD
3)①与(1)同理可得,BD=CF
所以,CF=CD-BC
②∵∠BAC=90°AB=AC
∴∠ABC=ACB=45°
则∠ABD=180°-45°=135°
∵四边形ADEF是正方形,
AD=AF,∠DAF=90°
∵∠BAC=BAF+CAF=90°
DAF=BAD+BAF=90°
∴∠BAD=CAF

在△BAD和△CAF中,

∴△BAD≌△CAFSAS),
∴∠ACF=ABD=180°-45°=135°
∴∠FCD=ACF-ACB=90°
则△FCD为直角三角形,
∵正方形ADEF中,ODF中点,
OC=DF
∵在正方形ADEF中,OA=AEAE=DF
OC=OA
∴△AOC是等腰三角形.

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