题目内容
（2013•龙湾区一模）如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx与x轴的另一个交点为A．点P在一次函数y=2x-2m的图象上，PH⊥x轴于H，直线AP交y轴于点C，点P的横坐标为1．（点C不与点O重合）
（1）如图1，当m=-1时，求点P的坐标．
（2）如图2，当0＜m＜
时，问m为何值时
=2？
（3）是否存在m，使
=2？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点P坐标；若不存在，请说明理由．
（1）如图1，当m=-1时，求点P的坐标．
（2）如图2，当0＜m＜
| 1 |
| 2 |
| CP |
| AP |
（3）是否存在m，使
| CP |
| AP |
分析：（1）先将m=-1代入y=2x-2m，得到y=2x+2，再令x=1，求出y=4，即可求出点P的坐标；
（2）先由PH∥OC，得出△PAH∽△CAO，根据相似三角形对应边成比例得到
=
，由
=2，得出OA=
，再解方程-x2+2mx=0，求出点A的坐标（2m，0），则2m=
，m=
；
（3）分四种情况讨论：①当0＜m＜
时，由（2）得m=
，将m=
代入y=2x-2m，得到y=2x-
，再将x=1代入，求出y的值，得到点P的坐标；
②当
≤m＜1时，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例得到
=
，由
=2，得出OA=
，解方程2m=
，得出m=
，再同①；
③当m≥1时，同②，求出m=
舍去；
④当m≤0时，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例得到
=
，由
=2，得出CP＞AP，而CP＜AP，所以m的值不存在．
（2）先由PH∥OC，得出△PAH∽△CAO，根据相似三角形对应边成比例得到
| PA |
| CA |
| AH |
| AO |
| CP |
| AP |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（3）分四种情况讨论：①当0＜m＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
②当
| 1 |
| 2 |
| PA |
| CA |
| AH |
| AO |
| CP |
| AP |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
③当m≥1时，同②，求出m=
| 3 |
| 4 |
④当m≤0时，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例得到
| PA |
| CA |
| AH |
| AO |
| CP |
| AP |
解答：解：（1）如图1，当m=-1时，y=2x+2，
令x=1，则y=4，
∴点P的坐标为（1，4）；
（2）如图2，∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△PAH∽△CAO，∴
=
，
∵
=2，∴
=
=1，∴OA=
．
令y=0，则-x2+2mx=0，
∴x1=0，x2=2m，
∴点A的坐标（2m，0），
∴2m=
，∴m=
；
（3）①当0＜m＜
时，由（2）得m=
，
∴y=2x-
，
令x=1，则y=
，
∴点P的坐标为（1，
）；
②如图3，当
≤m＜1时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴
=
，
∵
=2，∴
=
，∴OH=
OA，
∵OH=1，∴OA=
，
∴2m=
，m=
，
∴y=2x-
，
令x=1，则y=
，
∴点P的坐标为（1，
）；
③如图4，当m≥1时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴
=
，
∵
=2，∴
=
，∴OH=
OA，
∵OH=1，∴OA=
，
∴2m=
，m=
，
∵m＞1，∴m=
舍去；
④如图5，当m≤0时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴
=
，
∵
=2，∴CP＞AP，
又∵CP＜AP，
∴m的值不存在．
解：（1）如图1，当m=-1时，y=2x+2，令x=1，则y=4，
∴点P的坐标为（1，4）；
（2）如图2，∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△PAH∽△CAO，∴
| PA |
| CA |
| AH |
| AO |
∵
| CP |
| AP |
| PA |
| CA |
| AH |
| AO |
| 1 |
| 2 |
令y=0，则-x2+2mx=0，
∴x1=0，x2=2m，
∴点A的坐标（2m，0），
∴2m=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（3）①当0＜m＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴y=2x-
| 1 |
| 2 |
令x=1，则y=
| 3 |
| 2 |
∴点P的坐标为（1，
| 3 |
| 2 |
②如图3，当
| 1 |
| 2 |
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴
| PA |
| CA |
| AH |
| AO |
∵
| CP |
| AP |
| AH |
| AO |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∵OH=1，∴OA=
| 3 |
| 2 |
∴2m=| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴y=2x-
| 3 |
| 2 |
令x=1，则y=
| 1 |
| 2 |
∴点P的坐标为（1，
| 1 |
| 2 |
③如图4，当m≥1时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴
| PA |
| CA |
| AH |
| AO |
∵
| CP |
| AP |
| AH |
| AO |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∵OH=1，∴OA=
| 3 |
| 2 |
∴2m=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∵m＞1，∴m=| 3 |
| 4 |
④如图5，当m≤0时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴
| PA |
| CA |
| AH |
| AO |
∵
| CP |
| AP |
又∵CP＜AP，
∴m的值不存在．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定与性质，难度适中．第（3）小问中运用分类讨论思想将m的取值划分范围并且画出相应图形，从而利用数形结合及方程思想解决问题是本小题的关键．
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