题目内容

35、新年晚会,是我们最欢乐的时候.会场上,悬挂着五彩缤纷的小装饰,其中有各种各样的立体图形.

(1)数一下每一个多面体具有的顶点数(V)、棱数(E)和面数(F),并且把结果记入表中
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
正四面体 4 4 6
正方体
正八面体
正十二面体
正二十面体 12 20 30
(2)观察表中数据,猜想多面体的顶点数(V)、棱数(E)和面数(F)之间的关系.
(3)伟大的数学家欧拉(Euler 1707-1783)证明了这一令人惊叹的关系式,即欧拉公式.若已知一个多面体的顶点数V=196,棱的条数E=294.请你用欧拉公式求这个多面体的面数.
分析:(1)根据图形数出顶点数,面数,棱数,填入表格即可;
(2)根据表格数据,顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答;
(3)把顶点数与棱数代入欧拉公式进行计算即可求解.
解答:解:(1)如表所示:
正方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
(2)∵4+4-6=2,
8+6-12=2,
6+8-12=2,
20+12-30=2,
12+20-30=2,
∴V+F-E=2;

(3)由V+F-E=2,
即:196+F-294=2,
F=294+2-196=100.
这是一个100面体.
点评:本题是对欧拉公式的考查,观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键.
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