题目内容

【题目】如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当BEC面积最大时,请求出点E的坐标和BEC面积的最大值?

(3)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+3(2)(2,3)3(3)(﹣3,﹣)、(5,﹣)、(﹣1,

【解析】

试题分析:(1)直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(4,0),抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点,解得y=﹣x2+x+3.

(2)如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,

点E是直线BC上方抛物线上的一动点,设点E的坐标是(x,﹣x2+x+3),则点M的坐标是(x,﹣x+3),EM=﹣x2+x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+x,S△BEC=S△BEM+S△MEC==×(﹣x2+x)×4=﹣x2+3x=﹣(x﹣2)2+3,当x=2时,即点E的坐标是(2,3)时,BEC的面积最大,最大面积是3.

(3)在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.

①如图2,

由(2),可得点M的横坐标是2,点M在直线y=﹣x+3上,点M的坐标是(2,),又点A的坐标是(﹣2,0),AM==AM所在的直线的斜率是:y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1,设点Q的坐标是(1,m),点P的坐标是(x,﹣x2+x+3),则解得x0,点P的坐标是(﹣3,﹣).

②如图3,

由(2),可得点M的横坐标是2,点M在直线y=﹣x+3上,点M的坐标是(2,),又点A的坐标是(﹣2,0),AM==AM所在的直线的斜率是:y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1,设点Q的坐标是(1,m),点P的坐标是(x,﹣x2+x+3),则解得x0,点P的坐标是(5,﹣).

③如图4,

由(2),可得点M的横坐标是2,点M在直线y=﹣x+3上,点M的坐标是(2,),又点A的坐标是(﹣2,0),AM==y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1,设点Q的坐标是(1,m),点P的坐标是(x,﹣x2+x+3),则解得点P的坐标是(﹣1,).综上,可得在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标是(﹣3,﹣)、(5,﹣)、(﹣1,).

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