题目内容
【题目】如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值?
(3)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3;(2)(2,3),3;(3)(﹣3,﹣)、(5,﹣)、(﹣1,).
【解析】
试题分析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,∴点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(4,0),∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点,∴,解得,∴y=﹣x2+x+3.
(2)如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,
,
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点,∴设点E的坐标是(x,﹣x2+x+3),则点M的坐标是(x,﹣x+3),∴EM=﹣x2+x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+x,∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×(﹣x2+x)×4=﹣x2+3x=﹣(x﹣2)2+3,∴当x=2时,即点E的坐标是(2,3)时,△BEC的面积最大,最大面积是3.
(3)在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.
①如图2,
,
由(2),可得点M的横坐标是2,∵点M在直线y=﹣x+3上,∴点M的坐标是(2,),又∵点A的坐标是(﹣2,0),∴AM==,∴AM所在的直线的斜率是:;∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1,∴设点Q的坐标是(1,m),点P的坐标是(x,﹣x2+x+3),则,解得或,∵x<0,∴点P的坐标是(﹣3,﹣).
②如图3,
,
由(2),可得点M的横坐标是2,∵点M在直线y=﹣x+3上,∴点M的坐标是(2,),又∵点A的坐标是(﹣2,0),∴AM==,∴AM所在的直线的斜率是:;∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1,∴设点Q的坐标是(1,m),点P的坐标是(x,﹣x2+x+3),则,解得或,∵x>0,∴点P的坐标是(5,﹣).
③如图4,
,
由(2),可得点M的横坐标是2,∵点M在直线y=﹣x+3上,∴点M的坐标是(2,),又∵点A的坐标是(﹣2,0),∴AM==,∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1,∴设点Q的坐标是(1,m),点P的坐标是(x,﹣x2+x+3),则解得,∴点P的坐标是(﹣1,).综上,可得在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标是(﹣3,﹣)、(5,﹣)、(﹣1,).