题目内容

【题目】如图,ABC中,∠ACB=90°AC=BCPCQ=45°,把∠PCQ绕点C旋转,在整个旋转过程中,过点AADCP,垂足为D,直线ADCQE

1)如图①,当∠PCQ在∠ACB内部时,求证:AD+BE=DE

2如图②,CQ在∠ACB外部时,求证AD-BE=DE

3在(1)的条件下,若CD=18SBCE=2SACD,求AE的长.(直接写结果)

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)24

【解析】试题分析:(1)延长DAF,使DF=DE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=BCE,然后利用边角边证明ACFBCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得证;
2)在AD上截取DF=DE,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF,再求出∠ACF=BCE,然后利用边角边证明ACFBCE全等,根据全等三角形的即可证明AF=BE,从而得到AD=BE+DE
3)根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD,然后求出AD的长,再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解.

试题解析:

1)如图①,延长DAF,使DF=DE
CDAECE=CF
∴∠DCE=DCF=PCQ=45°
∴∠ACD+ACF=DCF=45°
又∵∠ACB=90°PCQ=45°
∴∠ACD+BCE=90°-45°=45°
∴∠ACF=BCE
∵在ACFBCE中,

∴△ACF≌△BCESAS),AF=BE
AD+BE=AD+AF=DF=DEAD+BE=DE

2)如图②,在AD上截取DF=DE
CDAECE=CF
∴∠DCE=DCF=PCQ=45°
∴∠ECF=DCE+DCF=90°
∴∠BCE+BCF=ECF=90°
又∵∠ACB=90°∴∠ACF+BCF=90°∴∠ACF=BCE
∵在ACFBCE中,

∴△ACF≌△BCESAS),AF=BE
AD=AF+DF=BE+DEAD=BE+DE


3∵∠DCE=DCF=PCQ=45°∴∠ECF=45°+45°=90°
∴△ECF是等腰直角三角形,∴CD=DF=DE=6
SBCE=2SACDAF=2AD
AD=×6=2AE=AD+DE=2+6=8

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