题目内容
如图所示，边长为2的正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c
过点A，B，且12a+5c=0．（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以每秒2个单位的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以每秒1个单位的速度向点C移动，设移动时间为t秒．当线段PQ的长取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，P、Q点在运动过程中，抛物线上是否还存在其它点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形为平行四边形？如存在，求出点R的坐标；如不存在，请说明理由．
分析：（1）根据正方形的边长可得A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，联立12a+5c=0，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）首先用t表示出PB、BQ的长，利用勾股定理可求得PQ2的表达式，根据所得函数的性质即可得到PQ2的最小值（即PQ的最小值）及对应的t值，进而可得到P、Q的坐标，然后分两种情况考虑：
①PR与BQ平行且相等，那么将P点坐标向上或向下平移BQ个单位，即可得到R的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；
②QR与BP平行且相等，那么将Q点坐标向左或向右平移BP个单位即可得到R点坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）此题的解法同（2），将P、Q的坐标用t表示，然后按（2）题的两种情况得到各自的R点坐标，然后再代入抛物线中进行验证即可．
（2）首先用t表示出PB、BQ的长，利用勾股定理可求得PQ2的表达式，根据所得函数的性质即可得到PQ2的最小值（即PQ的最小值）及对应的t值，进而可得到P、Q的坐标，然后分两种情况考虑：
①PR与BQ平行且相等，那么将P点坐标向上或向下平移BQ个单位，即可得到R的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；
②QR与BP平行且相等，那么将Q点坐标向左或向右平移BP个单位即可得到R点坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）此题的解法同（2），将P、Q的坐标用t表示，然后按（2）题的两种情况得到各自的R点坐标，然后再代入抛物线中进行验证即可．
解答：解：（1）由题A（0，-2），B（2，-2）；
∴
∴
∴y=
x2-
x-2．（4分）
（2）由题AP=2t，BQ=t；
∴BP=2-2t，
Rt△PBQ中，
PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2
=5t2-8t+4
=5(t-
)2+
；
当t=
时，PQ2取得最小值，
则PQ最小，此时P(
，-2)，Q(2，-
)；
假设符合条件的点R存在，
①过P作PR∥BQ，PR=BQ；
此时R（
，-
）或(
，-
)，
将其代入抛物线解析式，
知这两个点R均不在抛物线上；
②过Q作QR∥BP，QR=BP，
此时R（
，-
）或(
，-
)将其代入抛物线解析式，
知点（
，-
）在抛物线上，点(
，-
)不在抛物线上，
综上所述，存在符合条件的点R（
，-
）．（8分）
（3）易知：P（2t，-2），Q（2，t-2），
由于点R在抛物线上，
∴若存在以P，B，Q，R为顶点的平行四边形，只能有两种情况，
①平行四边形PRBQ此时PR∥BQ，PR=BQ；
∴R（2t，-2-t），
将其代入抛物线解析式得：
•(2t)2-
•2t-2=-2-t，
10t2-7t=-0，
t1=0(舍去)t2=
；
此时R(
，-
)；
②PQRB，此时QR∥PB，QR=PB；
∴R（4-2t，t-2），
将其代入抛物线解析式，
(4-2t)2-
(4-2t)-2=t-2；
10t2-33t+20=0，
∴t1=2.5（舍去），t2=0.8，
此时R（
，-
）；
综上所述，除（2）中的点R外，还存在点R(
，-
)．（12分）
解：（1）由题A（0，-2），B（2，-2）；∴
|
∴
|
∴y=
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
（2）由题AP=2t，BQ=t；
∴BP=2-2t，
Rt△PBQ中，
PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2
=5t2-8t+4
=5(t-
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
当t=
| 4 |
| 5 |
则PQ最小，此时P(
| 8 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
假设符合条件的点R存在，
①过P作PR∥BQ，PR=BQ；
此时R（
| 8 |
| 5 |
| 14 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
将其代入抛物线解析式，
知这两个点R均不在抛物线上；
②过Q作QR∥BP，QR=BP，
此时R（
| 12 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
知点（
| 12 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
综上所述，存在符合条件的点R（
| 12 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
（3）易知：P（2t，-2），Q（2，t-2），
由于点R在抛物线上，
∴若存在以P，B，Q，R为顶点的平行四边形，只能有两种情况，
①平行四边形PRBQ此时PR∥BQ，PR=BQ；
∴R（2t，-2-t），
将其代入抛物线解析式得：
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
10t2-7t=-0，
t1=0(舍去)t2=
| 7 |
| 10 |
此时R(
| 7 |
| 5 |
| 27 |
| 10 |
②PQRB，此时QR∥PB，QR=PB；
∴R（4-2t，t-2），
将其代入抛物线解析式，
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 3 |
10t2-33t+20=0，
∴t1=2.5（舍去），t2=0.8，
此时R（
| 12 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
综上所述，除（2）中的点R外，还存在点R(
| 7 |
| 5 |
| 27 |
| 10 |
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、函数图象上点的坐标意义等知识，在涉及到动点问题时，一定要注意分类讨论思想的应用，以免漏解．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于
如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则tan∠AED的值等于（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
将△OAB绕点O顺时针旋转30°后，得到△OB′A′，点A′恰好落在双曲线y=
23、高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分（如图所示）边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面？试说明理由．
如图所示，边长为1 的正方形网格中有格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，若把△ABC绕点O逆时针旋转90°．