Question

（1）如图①，△OAB和△OCD都是等边三角形，A、O、D三点不在同一直线上，AC和BD相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；
（2）如图②，如果A、O、D三点在同一直线上，其余条件不变，试求∠AEB的大小．

Answer 1

分析：（1）由△OAB和△OCD都是等边三角形，利用SAS易证得△AOC≌△COD，继而求得∠AEB的大小；
（2）同（1），易证得△AOC≌△BOD，然后由∠AEB=180°-（∠ABE+∠CAB）=180°-（∠ABO+∠OBD+∠CAB）=180°-（∠ABO+∠OAB），求得答案．

解答：解：（1）∵△OAB和△OCD都是等边三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠DOB=∠COA，
在△AOC和△BOD中，

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC=∠OBD，
∵A、O、D三点在同一直线上，
∴∠AEB=∠BDO+∠OAC=∠BDO+∠OBD=∠AOB=60°；

（2）∵△OAB和△OCD都是等边三角形，
∴OD=OC，OB=OA，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠DOB=∠COA，
在△AOC和△BOD中，

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC=∠OBD，
在等边△OAB中，∠OAB=∠ABO=60°，
∴∠AEB=180°-（∠ABE+∠CAB）=180°-（∠ABO+∠OBD+∠CAB）=180°-（∠ABO+∠OAB）=60°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．