题目内容

如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的精英家教网图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据点A的坐标，即可确定直线OA以及反比例函数的解析式，根据所得反比例函数解析式即可确定点B的坐标，而OA、BC平行，那么它们的斜率相同，由此可确定直线BC的解析式；
（2）根据直线BC的解析式可求得C点坐标，然后可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；
（3）根据（2）所得抛物线的解析式，可求得顶点D的坐标，即可得到BD、BC、CD的长，利用勾股定理逆定理即可判定△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，根据抛物线对称轴方程可得到E点坐标，进而可求得OE的长，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，已知∠BDC=∠PEO=90°，那么有两种情况需要考虑：
①△PEO∽△BDC，②△OEP∽△BDC．
根据上面两组不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可得到PE的长，进而求出P点的坐标．（需要注意的是P点可能在E点上方也可能在E点下方）
解答：解：（1）由直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），
得直线OA为：y=x，双曲线为：y=
9
x
，
点B（6，m）代入y=
9
x
得m=
3
2
，点B（6，
3
2
），（1分）
设直线BC的解析式为y=x+b，由直线BC经过点B，
将x=6，y=
3
2
，代入y=x+b得：b=-
9
2
，（1分）
所以，直线BC的解析式为y=x-
9
2
；（1分）

（2）由直线y=x-
9
2
得点C（0，-
9
2
），
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx-
9
2

将A、B两点的坐标代入y=ax2+bx-
9
2
，得：
9a+3b-
9
2
=3
36a+6b-
9
2
=
3
2
，（1分）
解得
a=-
1
2
b=4
（1分）
所以，抛物线的解析式为y=-
1
2
x2+4x-
9
2
；（1分）

（3）存在．
把y=-
1
2
x2+4x-
9
2
配方得y=-
1
2
(x-4)2+
7
2
，
所以得点D（4，
7
2
），对称轴为直线x=4（1分）
得对称轴与x轴交点的坐标为E（4，0）．（1分）
由BD=
8
，BC=
72
，CD=
80
，得CD2=BC2+BD2，所以，∠DBC=90°（1分）
又∠PEO=90°，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
①
OE
BC
=
PE
DB
，即
4
6
2
=
PE
2
2
，得PE=
4
3
，有P1（4，
4
3
），P2（4，-
4
3
）
②
OE
DB
=
PE
BC
，即
4
2
2
=
PE
6
2
，得PE=12，有P3（4，12），P4（4，-12）（3分）
所以，点P的坐标为（4，
4
3
），（4，-
4
3
），（4，12），（4，-12）．
点评：此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、函数图象上点的坐标意义、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识．要注意的是（3）题中，在相似三角形的对应边和对应角不确定的情况下需要分类讨论，以免漏解．
练习册系列答案
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精英家教网如图，直线OA与反比例函数y=
kx
（k≠0）的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k=
 
．
精英家教网如图，直线OA与反比例函数y=
kx
(k≠0)的图象在第二象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为8，则k=
 
．

如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝

 

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