Question

配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．
因为2x²≥0，所以2x²+1就有个最小值1，即2x²+1≥1，只有当x=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-2x²≤0，所以-2x²+1有最大值1，即-2x²+1≤1，只有在x=0时，才能得到这个式子的最大值1．
①当x=

 

时，代数式3（x-1）²+3有最

 

（填写大或小）值为

 

；
②当x=

 

时，代数式-3x²+6x+1有最

 

（填写大或小）值为

 

；
③矩形花园的一面靠墙，另外三面用栅栏围成．
（1）若栅栏的总长度是12m，当花园与墙相邻的两边的边长x为多少时，花园的面积y最大？最大面积是多少？
（2）若栅栏的总长度为am，那么边长x为多少时，花园的面积y最大？最大面积又是多少？

Answer 1

分析：①3（x-1）²+3可理解为二次函数解析式的顶点式，开口向上，在顶点处，有最小值；
②-3x²+6x+1=-3（x-1）²+4，通过配方写成顶点式，开口向下，在顶点处，有最大值；
③根据周长及图形条件，表示矩形两边长，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，由函数的性质回答题目问题．

解答：解：①代数式3（x-1）²+3为二次函数的顶点式，
根据二次函数的性质可知：当x=1时，函数有最小值为3；

②代数式-3x²+6x+1=-3（x-1）²+4为二次函数的顶点式，
根据二次函数的性质可知：当x=1时，函数有最大值为4；

③（1）花园与墙相邻的两边的边长x，另一边长为12-2x，
矩形花园面积为x（12-2x）=-2x²+12x，函数图象开口向下，
当x=-

12

2×(-2)

=3时，y的最大值为18；
（2）当栅栏的总长度为a，花园与墙相邻的两边的边长x，另一边长为a-2x，
矩形花园面积为x（a-2x）=-2x²+ax，函数图象开口向下，
当x=

a

4

时，y的最大值为

a2

8

．

点评：本题运用了抛物线的顶点式求函数的最大（小）值，根据实际问题列二次函数解析式，用顶点坐标公式求函数的最大（小）值．