Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，矩形MRTN内接于△ABC（RT在BC边上），正方形EGHF内接于△AMN（GH在MN边上），EF，MN分别交AD于点P，Q，设AP=x，已知BC=6，AD=4．
（1）试用x的代数式表示线段EF，MN的长；
（2）设S=S_EGHF+S_MRTN，
①求S关于x的解析式，并写出自变量x的取值范围；
②当x取何值时，S有最大值？
（3）连接RN，当△NRC是等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

分析：（1）先根据EF∥BC求出△AEF∽△ABC，根据其相似比可用含x的代数式表示出EF；同理，由MN∥BC，可求出△AMN∽△ABC，根据其相似比为可用含x的代数表示出MN的值；
（2）①由NT=DQ可用含x的代数式表示出NT的长，再结合（1）的结论便可写出S关于x的解析式，根据0＜NT＜4，即可求出x的取值范围；
②由①求出的函数解析式可判断出a、b的值，根据解析式得出当x取

20

19

时，s有的最大值；
（3）由于等腰三角形的两腰不明确，故应分三种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AP

AD

即

EF

6

=

x

4

，
∴EF=

3

2

x，
又∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴

MN

BC

=

AQ

AD

即

MN

6

=

x+ 3 2 x

4

，
∴MN=

15

4

x；

（2）①∵NT=DQ=AD-AQ=4-(x+

3

2

x)=4-

5

2

x，
∴S=EF2+MN×NT=(

3

2

x)2+

15

4

x×(4-

5

2

x)，
即S=-

57

8

x2+15x，
自变量x的取值范围为：0＜x＜

8

5

；
②∵a=-

57

8

＜0，b=15，
此时x=-

b

2a

=-

15

2×(- 57 8 )

=

20

19

，
∵0＜

20

19

＜

8

5

，
∴当x=

20

19

时，S有最大值；

（3）当△NRC是等腰三角形时，分以下三种情形：
①当NR=NC时，∵NT⊥BC，∴RT=CT，∵DT=

1

2

RT=

1

2

NM=

15

8

x，CD=

1

2

BC=3，
∴

15

4

x=3-

15

8

x，
解得x=

8

15

；
②当RC=NC时，∵AC=

AD2+CD2

=

42+32

=5，
∴cosC=

CD

AC

=

3

5

，
在Rt△NCT中，CT=3-

15

8

x∴CN=

CT

cosC

=5-

25

8

x，
∴

15

4

x+3-

15

8

x=5-

25

8

x，
解得x=

2

5

；
③当RC=NR时，

解法一：如图，作RK⊥AC于点K，
则CK=

1

2

CN=

1

2

(5-

25

8

x)，
∵CK=RC×cosC，
∴

1

2

(5-

25

8

x)=(

15

4

x+3-

15

8

x)×

3

5

，
解得x=

56

215

；
解法二：∵RC²=NR²=NT²+RT²，
化简得1075x²-2000x+448=0，
解得x=

56

215

，或x=

8

5

（不合题意，舍去），
综上所述，当△NRC是等腰三角形时，x=

8

15

，或x=

2

5

，或x=

56

215

．

点评：此题比较复杂，涉及到相似三角形判定与性质、二次函数的最值、等腰三角形的性质，在解（2）时一定要注意分类讨论，不要漏解．