Question

【题目】如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BDC＝120°，AB＝AC，连接对角线AD，BC，点F在线段BD的延长线上，且CF＝DF，⊙O的切线CE交BF于点E．

（1）求证：CE∥AB；

（2）求证：AD＝BD+CD．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）连接CO，根据圆内接四边形的性质求出∠BAC=60°，得到△ABC为等边三角形，得到CH⊥AB，根据切线的性质得到CH⊥CE，根据平行线的判定定理证明结论；

（2）证明△ACD≌△BCF，根据全等三角形的性质得到AD=BF，等量代换证明即可．

（1）证明：连接CO并延长，交AB于H，

∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BDC＝120°，

∴∠BAC＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC为等边三角形，

∴CH⊥AB，

∵CE是⊙O的切线，

∴CH⊥CE，

∴CE∥AB；

（2）证明：∵∠BDC＝120°，

∴∠CDF＝60°，

∵CF＝DF，

∴△CDF为等边三角形，

∴CD＝CF，∠DCF＝60°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠DCF＝∠ACB，

∴∠DCF+∠BCD＝∠ACB+∠BCD，即∠ACD＝∠BCF，

在△ACD和△BCF中，

，

∴△ACD≌△BCF（SAS）

∴AD＝BF＝BD+DF＝BD+CD．