Question

【题目】如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角分线．

（1）以AB上的一点O为圆心，AD为弦在图中作出⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

（3）若∠B=30°，计算S△DAC：S△ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）图形见解析（2）相切；（3）1：3

【解析】

试题（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；
（3）根据直角三角形的性质得到CD=AD，于是得到BC=CD+BD=CD+AD=3CD，根据三角形的面积公式即可得到结论．

试题解析：

（1）如图所示，

（2）相切；理由如下：

证明：连结OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA

∵AD是BAC的角平分线，则∠OAD=∠DAC，

∴∠ODA=∠DAC，

∵AC⊥BC，则∠DAC+∠ADC=90°，

∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，

∴OD⊥BC，

即BC是⊙O的切线；

（3）∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，

∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=CD+AD=3CD，

∴S△DAC= ，S△ABC==；

∴S△DAC：S△ABC=： =1：3．