题目内容
【题目】已知△ABC是等腰三角形,AB=AC.
(1)特殊情形:如图1,当DE∥BC时,有DB EC.(填“>”,“<”或“=”)
(2)发现探究:若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展运用:如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.
【答案】(1)=;(2)成立;(3)∠BPC =135°.
【解析】试题分析:(1)由DE∥BC,得到,结合AB=AC,得到DB=EC;
(2)由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC,得到DB=CE;
(3)由旋转构造出△CPB≌△CEA,再用勾股定理计算出PE,然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形,在简单计算即可.
试题解析:(1)∵DE∥BC,
∴,
∵AB=AC,
∴DB=EC,
故答案为=,
(2)成立.
证明:由①易知AD=AE,
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC,
又∵AD=AE,AB=AC
∴△DAB≌△EAC,
∴DB=CE,
(3)如图,
将△CPB绕点C旋转90°得△CEA,连接PE,
∴△CPB≌△CEA,
∴CE=CP=2,AE=BP=1,∠PCE=90°,
∴∠CEP=∠CPE=45°,
在Rt△PCE中,由勾股定理可得,PE=,
在△PEA中,PE2=()2=8,AE2=12=1,PA2=32=9,
∵PE2+AE2=AP2,
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°,
∴∠CEA=135°,
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°.
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