题目内容

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4cm，CD=10cm，∠C=60°．
（1）求AD的长；
（2）若动点P从点C出发沿CD方向向终点D运动，在P点运动的过程中，△ABP的面积改变了吗？若改变，请说明理由；若没有改变，请求出△ABP的面积．
（3）在（2）的条件下，过点B作BH⊥AP，垂足为H，若BH=3cm，求PA的长．

解：（1）过点A作AE⊥CD于点E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，AB=4cm，CD=10cm，
∴DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3cm，
在Rt△ADE中，
∵DE=3cm，∠C=60°，
∴AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =6cm；

（2）没变．
∵点P无论运动到何点，△ABP都是以AB为底、以AE为高的三角形，
∴△ABP的面积没改变；
∵AB=4cm，AE=DE•tan60°=3× $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABP= $\text{[math]}$ AB•AE= $\text{[math]}$ ×4×3 $\text{[math]}$ =6 $\text{[math]}$ ；

（3）∵在Rt△ADE中，DE=3cm，∠C=60°，
∴AE=DE•tan60°=3× $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABP= $\text{[math]}$ AB•AE= $\text{[math]}$ PA•BH，即4×3 $\text{[math]}$ =PA×3，解得PA=4 $\text{[math]}$ cm．
分析：（1）过点A作AE⊥CD于点E，由等腰三角形的性质可求出DE的长，再由锐角三角函数的定义求出AD的长即可；
（2）根据同底等高的三角形面积相等可直接得出结论；
（3）由S_△ABP= $\text{[math]}$ AB•AE= $\text{[math]}$ PA•BH即可求出PA的长．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．