Question

如图，已知⊙O的半径为4，CD为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC。

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）如图，连接OA，欲证明AAB为⊙O的切线，只需证明AB⊥OA即可；
（2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；
（3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．
试题解析：（1）证明：如图，连接OA．
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∴在△ABO中，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°，即AB⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD．

∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°．
∵由（1）知，∠ACB=30°，
∴AD= CD=4，
则根据勾股定理知AC=.
即弦AC的长为.
（3）由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=
则S_△ADC=AD•AC=×4×=．
∵点O是△ADC斜边上的中点，
∴S_△AOC=S_△ADC=.
根据图示知，S_阴影=S_扇形ADO+S_△AOC=，
即图中阴影部分的面积是．
考点: 1.切线的判定；2.扇形面积的计算．