Question

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC²=AD•CE；
（3）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．等边对等角及平行线的性质可求∠D的度数；
（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．
（3）延长BO交DA的延长线于F，连接OA．通过证明△BOC∽△BFD得出的值．
解答：（1）解：如图，连接OB（1分）
∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°（2分）

（2）证明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，
∴∠BAC=∠D（3分）
∵AD∥OC，
∴∠ACE=∠DAC（4分）
∴△ACE∽△DAC
∴
∴AC²=AD•CE（5分）

（3）解：方法一：如图，延长BO交DA的延长线于F，连接OA
∵AD∥OC，
∴∠F=∠BOC=90°
∵∠ABC=15°，
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°
∵OA=OB，
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°、
∴OF=OA
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD
∴

∴=2，即的值为2（7分）
方法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=，OM=，∠MOE=30°，
ME=OM•tan30°=，BE=，AE=，所以=2
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同时考查了圆周角定理和平行线的性质，综合性较强，难度较大．