Question

如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式可知，x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

．
于是有x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1-x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的两根，求x₁²+x₂²的值．解法可以这样：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，则

x

21

+

x

22

=(x1+x^)2-2x1x2=（-6）²-2×（-3）=42．
请你根据以上材料解答下列题：
（1）若x²+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两根，求（x₁-x₂）²的值．

Answer 1

（1）∵x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

，
∴1+3=-b，1×3=c
∴b=-4，c=3；
（2）∵x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8．