题目内容
【题目】如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．
（1）如果AB=AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（2）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．
【答案】（1）矩形，证明见解析；（2）△ABC为等腰直角三角形，证明见解析
【解析】
（1）首先利用平行线的性质得出△AEF≌△DEB，进而得出D为BC的中点，然后利用等腰三角形的性质以及矩形的判定得出即可；
（2）当△ABC为等腰直角三角形时，利用正方形的判定得出四边形ADCF为正方形即可．
解：（1）∵AF=DC，AF∥BC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴AF=CD
又∵E为AD的中点，AF∥BD，
∴AE=DE，∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴BD=AF，∴BD=CD，
即D为BC的中点；
连接AB，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°
∴平行四边形AFCD为矩形；
（2）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；
理由：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD=
BC=BD=CD，
∴平行四边形ADCF为矩形，
∴矩形ADCF为正方形．
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