题目内容
（2013•天桥区一模）如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）证△APQ∽△ABC，推出
=
，代入得出
=
，求出方程的解即可
（2）求出∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，证△APD∽△ABC，代入得出方程
=
，求出PD=
（10-2t），根据三角形的面积公式求出即可；
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-
t2+6t=
×
×8×6，求出此方程无解，即可得出答案．
| AP |
| AB |
| AQ |
| AC |
| 10-2t |
| 10 |
| 2t |
| 8 |
（2）求出∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，证△APD∽△ABC，代入得出方程
| 10-2t |
| 10 |
| PD |
| 6 |
| 3 |
| 5 |
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-
| 6 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
t=
，
即当t为
s时，PQ∥BC；
（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
过P作PD⊥AC于D，
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
PD=
（10-2t），
∴S=
AQ•PD=
•2t•
（10-2t）=-
t2+6t=-
（t-
）2+7.5，
∵-
＜0，开口向下，有最大值，
当t=
秒时，S的最大值是7.5cm2．
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则S△APQ=
S△ABC
即-
t2+6t=
×
×8×6
t2-5t+10=0，
∵△=52-4×1×10=-15＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴
| AP |
| AB |
| AQ |
| AC |
∴
| 10-2t |
| 10 |
| 2t |
| 8 |
t=
| 20 |
| 9 |
即当t为
| 20 |
| 9 |
（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
过P作PD⊥AC于D，
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴
| AP |
| AB |
| PD |
| BC |
∴
| 10-2t |
| 10 |
| PD |
| 6 |
PD=
| 3 |
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 5 |
| 2 |
∵-
| 6 |
| 5 |
当t=
| 5 |
| 2 |
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则S△APQ=
| 1 |
| 2 |
即-
| 6 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
t2-5t+10=0，
∵△=52-4×1×10=-15＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
点评：本题考查了三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力．
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