题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝
，求劣弧BD与弦BD所围阴影图形的面积；
（3）若AC＝4，BD＝6，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【解析】
（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可证AD是⊙O的切线；
（2）连接OD，作OF⊥BD于F，由直角三角形的性质得出CD＝
AC＝1，BC＝
AC＝3， AC=3，得出BD=BC-CD=2，由直角三角形的性质得出DF＝BF＝
BD＝1，OF＝BF＝，得出OB＝2OF＝
，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果；（3）证明△ACD∽△BCA，得出
，求出CD=2，由勾股定理得出AD＝
，求出AB=4
，在Rt△AOD中，AD2 +OD2 =OA2，设⊙O的半径为x，则OA=4-x，解关于x的方程，BE=2x，求出BE后，根据AE=AB-BE，直接计算AE的长即可；
（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠B，
∵∠B＝∠1，
∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，
∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，
则AD为⊙O的切线；
（2）解：连接OD，作OF⊥BD于F，如图2所示：
∵OB＝OD，∠B＝30°，∴∠ODB＝∠B＝30°，
∴∠DOB＝120°，
∵∠C＝90°，∠CAD＝∠B＝30°，
∴CD＝AC＝1，BC＝AC＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∵OF⊥BD，
∴DF＝BF＝BD＝1，OF＝BF＝，
∴OB＝2OF＝，
∴劣弧BD与弦BD所围阴影部分的面积＝扇形ODB的面积﹣△ODB的面积＝
（3）解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CD×BC＝CD（CD+BD），
即42＝CD（CD+6），
解得：CD＝2，或CD＝﹣8（舍去），
∴CD＝2，
∴AD＝，
∵
，
∴
，
∴AB＝4，
∵OD⊥AD，
∴在Rt△AOD中，AD2 +OD2 =OA2，
∴设⊙O的半径为x，则OA=4-x，
∴(2) 2+x2=(4-x) 2，
∴
，
∴AE=AB-BE=4-3=；
