Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴为直线 ，顶点为A．

（1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP．
①当OA⊥OP时，求OP的长；
②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B，联结OB，当∠OAP=∠OBP时，求点B的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解： 抛物线 的对称轴为直线 ， ．
顶点A的坐标为（2，1）
（2）解：设对称轴与 轴的交点为E．①如图，

在直角三角形AOE和直角三角形POE中，
;
②如图，过点B作AP的垂线，垂足为F，

设点 ，
在 和 中，

整理得： 解得 （舍）．
【解析】（1）抛物线 y = a x 2 + x 的对称轴为直线 x = 2可列关于a的方程，抛物线的表达式可求；根据抛物线的顶点坐标公式可求顶点A的坐标；（2）①在直角三角形AOE和直角三角形POE中，根据已知条件可证两个三角形相似，从而得到成比例线段，OP的长可求；②过点B作AP的垂线，垂足为F，可证△BPF△PO，从而得到成比例线段，a的值可求，点B的坐标亦可求。
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．