Question

如图，已知点A₁，A₂，…，A₂₀₁₁在函数y=x²位于第二象限的图象上，点B₁，B₂，…，B₂₀₁₁在函数y=x²位于第一象限的图象上，点C₁，C₂，…，C₂₀₁₁在y轴的正半轴上，若四边形OA₁C₁B₁、C₁A₂C₂B₂，…，C₂₀₁₀A₂₀₁₁C₂₀₁₁B₂₀₁₁都是正方形，则正方形C₂₀₁₀A₂₀₁₁C₂₀₁₁B₂₀₁₁的边长为（ ）

A．2010
B．2011
C．2010
D．2011

Answer 1

【答案】分析：根据正方形对角线平分一组对角可得OB₁与y轴的夹角为45°，然后表示出OB₁的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B₁的坐标，然后求出OB₁的长，再根据正方形的性质求出OC₁，表示出C₁B₂的解析式，与抛物线联立求出B₂的坐标，然后求出C₁B₂的长，再求出C₁C₂的长，然后表示出C₂B₃的解析式，与抛物线联立求出B₃的坐标，然后求出C₂B₃的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
解答：解：∵OA₁C₁B₁是正方形，
∴OB₁与y轴的夹角为45°，
∴OB₁的解析式为y=x，
联立，
解得，，
∴点B₁（1，1），
OB₁==，
∵OA₁C₁B₁是正方形，
∴OC₁=OB₁=×=2，
∵C₁A₂C₂B₂是正方形，
∴C₁B₂的解析式为y=x+2，
联立，
解得，，
∴点B₂（2，4），
C₁B₂==2，
∵C₁A₂C₂B₂是正方形，
∴C₁C₂=C₁B₂=×2=4，
∴C₂B₃的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
联立，
解得，，
∴点B₂（3，9），
C₂B₃==3，
…，
依此类推，正方形C₂₀₁₀A₂₀₁₁C₂₀₁₁B₂₀₁₁的边长C₂₀₁₀B₂₀₁₁=2011．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．