题目内容
【题目】已知抛物线l1：y＝
x2+c，当其函数值y＝1时，只有一个自变量x的值与其对应
（1）求c的值；
（2）将抛物线l1经过平移得到抛物线l2：y＝（x﹣p）2﹣1．
①若抛物线l2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，记△ABC的外心为P，当﹣1≤p≤
时，求点P的纵坐标的取值范围；
②当0≤x≤2时，对于抛物线l1上任意点E，抛物线l2上总存在点F，使得点E、F纵坐标相等，求p的取值范围
【答案】（1）c＝1；（2）①
；②
和
【解析】
只有一个x与其对应的函数值即顶点的值，进而求出c．
①用p表示A、B、C的坐标，由于外心是三角形三边垂直平分线的交点，故点P在抛物线
的对称轴上，用p表示BC中点D，即直线PD垂直平分
求出直线BC解析式的
，利用两直线垂直时，
，求出直线PD解析式的
并求出解析式，把
代入即用p表示出P的纵坐标．再由
计算点P纵坐标的范围．
②先求出
时，对于抛物线
对应的函数值范围
根据题意，即的每一个函数值，都能在抛物线上有对应的函数值，故抛物线的函数值范围应比抛物线的大，即最小值小于等于1，最大值大于等于
对抛物线的对称轴进行分类讨论，不同情况下在时的最大值最小值取值不相同，每种情况里根据“最小值小于等于1，最大值大于等于2”列出不等式
组
，即求出p的范围．
解：
当函数值
时，只有一个自变量x的值与其对应，
抛物线的顶点纵坐标为1，
．①当
时，解得：
，
，
，
，
当
时，
，
，
中点为
，
设直线BC解析式为：
，
解得：
，
点P为
的外心，点P在抛物线对称轴上，直线PD垂直平分BC，
设直线PD解析式为：
，
，即
，把D代入得：
，
解得：
，直线PD解析式为：
，
当时，
，
，
，
，点P的纵坐标
的取值范围是
；
②对于抛物线：
，当时，
，抛物线上总存在点F，使得F纵坐标与上任意点E的纵坐标相等，抛物线在时，y的取值范围比的大，即最小值值
，最大值
，
若
，则抛物线在时，y随x的增大而增大，
时，最小值
；
时，最大值
，
，解得：
；
若
，则时y最小，时y最大，
，
解得：
或
，不成立；
若
，则时y最小，时y最大，
，
解得：
或
，不成立；
若
，则抛物线在时，y随x的增大而减小，时y最大，时y最小，
，解得：
；
综上所述，p的取值范围为：和.
