题目内容
【题目】如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与点B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC．其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②③④
【解析】
根据∠G=∠C=∠FAD=90°，可知K型全等，证得△ACD≌△FGA ，所以AC=FG；FG =BC，FG∥BC，可得四边形BFGC是平行四边形，再加∠C=90°，可得四边形BFGC是矩形；根据△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ABF；由AD2=FQ·AC，可知是证△ACD∽△FEQ，再根据四边形ADEF是正方形就可证得．
解：∵∠G=∠C=∠FAD=90°，
∴∠CAD=∠AFG．
∵AD=FA，
∴△ACD≌△FGA，
∴AC=FG，故①正确；
∵FG=AC=BC，FG∥BC，∠C=90°，
∴四边形CBFG为矩形，
∴S△FAB=
FB·FG=S四边形CBFG，
故②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，
故③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC∶FE=AD∶FQ，
∴AD·FE=AD2=FQ·AC，
故④正确．
故答案为：①②③④．
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