Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线y= x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）

∴点B的坐标为（4，﹣1）．

∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，

∴ ，解得：b=2，c=﹣1，

∴抛物线的函数表达式为：y= x2+2x﹣1

（2）

解：方法一：

i）∵A（0，﹣1），C（4，3），

∴直线AC的解析式为：y=x﹣1．

设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．

∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），

则平移后抛物线的函数表达式为：y= （x﹣m）2+m﹣1．

解方程组： ，

解得

∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．

过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则

PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．

∴PQ= =AP0．

若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为 （即为PQ的长）．

由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，

△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0= ．

如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y= x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．

∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，

∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，

∴直线l1的解析式为：y=x﹣5．

解方程组 ，得：

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为 ．

如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．

由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：

△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为 ．

过点F作直线l2∥AC，交抛物线y= x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．

∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，

∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，

∴直线l2的解析式为：y=x﹣3．

解方程组 ，得：

∴M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）．

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）．

方法二：

∵A（0，1），C（4，3），

∴lAC：y=x﹣1，

∵抛物线顶点P在直线AC上，设P（t，t﹣1），

∴抛物线表达式： ，

∴lAC与抛物线的交点Q（t﹣2，t﹣3），

∵一M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P（t，t﹣1），

①当M为直角顶点时，M（t，t﹣3）， ，

∴t=1± ，

∴M1（1+ ， ﹣2），M2（1﹣ ，﹣2﹣ ），

②当Q为直角顶点时，点M可视为点P绕点Q顺时针旋转90°而成，

将点Q（t﹣2，t﹣3）平移至原点Q′（0，0），则点P平移后P′（2，2），

将点P′绕原点顺时针旋转90°，则点M′（2，﹣2），

将Q′（0，0）平移至点Q（t﹣2，t﹣3），则点M′平移后即为点M（t，t﹣5），

∴ ，

∴t1=4，t2=﹣2，

∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），

③当P为直角顶点时，同理可得M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）．

ii） 存在最大值．理由如下：

由i）知PQ= 为定值，则当NP+BQ取最小值时， 有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．

连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四边形PQFN为平行四边形．

∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′= ．

∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为 ．

∴ 的最大值为

【解析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为 ．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x﹣5）与抛物线的交点，即为所求之M点；②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为 ．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M点．ii）由（i）可知，PQ= 为定值，因此当NP+BQ取最小值时， 有最大值．如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．