Question

已知：如图，一等边三角形ABC纸片的边长为2a，E是AB边上一动点，（点E与点A、B不重合），过点E作EF∥BC，交AC于点F，设EF=x．
（1）用x的代数式表示△AEF的面积；
（2）将△AEF沿EF折叠，折叠后与四边形BCFE重叠部分的面积为y，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）在等边△ABC中，
作AD⊥BC于D，交EF于H，
∴BD=DC=．
又∵tan∠ABD=tan60°=，
∴AD=a．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴=，=．
∴AH=x．
∴S_△AEF=AH×EF．
S_△AEF=x²=x²．

（2）①当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE内或BC边上时
y=x²（0＜x≤a）．
②当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE外点A^′处时，

A′F交BC于M，A′E交BC于N，连接AA′交EF于H，交BC于D，

∴=
∴=，
又∵AH=A′H，
∴=，
∴=，
∴=
=，
∴S_△A’_MN=．
∴S_{四边形MFEN}=x²-．
∴y=-（a＜x＜2a）．
分析：（1）首先根据等边三角形的性质求得大等边三角形的高，进一步求得其面积．再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，求得△AEF的面积；
（2）此题应分两种情况考虑：当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE内或BC边上时，重叠部分的面积即是三角形AEF的面积；当叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE外点A^′处时，重叠部分的面积即是三角形AEF的面积减去A′MN的面积，根据轴对称的性质和相似三角形的性质进行计算．
点评：此题综合运用了相似三角形的性质、等边三角形的性质和轴对称的性质．特别注意第2小题的两种情况．