Question

如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F．
（1）图中与线段BE相等的所有线段是

EF、CF

；选择图中与BE相等的任意一条线段，并加以证明；
（2）若BE=1，求△AEC的面积．

Answer 1

分析：（1）BECF，理由是根据正方形性质得出∠B=90°，∠ACB=45°，根据角平分线性质求出EF=BE，求出∠FEC=∠FCE=45°，推出EF=CF，即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出CE，得出BC和AB的值，再根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：（1）图中与线段BE相等的所有线段是EF和CF，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACB=

1

2

∠DCB=45°，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，
∴BE=EF，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FEC=45°=∠FCE，
∴EF=FC=BE，
故答案为：EF、CF；

（2）解：∵在Rt△EFC中，BE=EF=CF=1，由勾股定理得：CE=

12+12

=

2

，
∴BC=1+

2

=AB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=2+

2

，
∴△ACE的面积是

1

2

×AC×EF=

1

2

×（2+

2

）×1=1+

1

2

2

．

点评：本题考查的知识点有正方形性质、勾股定理、等腰三角形的性质和判定、角平分线性质，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．