题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．
（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα= 
，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为 
：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由
【答案】
（1）
解：如图1，
过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．
∵OE=OA，α=60°，
∴△AEO为正三角形，
∴OH=3，EH= 
=3 
．
∴E（﹣3，3 ）．
∵∠AOM=90°，
∴∠EOM=30°．
在Rt△EOM中，
∵cos∠EOM= 
，
即 
= 
，
∴OM=4 ．
∴M（0，4 ）．
设直线EF的函数表达式为y=kx+4 ，
∵该直线过点E（﹣3，3 ），
∴﹣3k+4 =3 ，
解得k= 
，
所以，直线EF的函数表达式为y= x+4
（2）
解：如图2，
射线OQ与OA的夹角为α（ α为锐角，tanα 
）．
无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方
形OEFG的顶点E在射线OQ上，
∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．
在Rt△AOE中，设AE=a，则OE=2a，
∴a2+（2a）2=62，解得a1= 
，a2=﹣ （舍去），
∴OE=2a= 
，∴S正方形OEFG=OE2= 
（3）
解：设正方形边长为m．
当点F落在y轴正半轴时．
如图3，
当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有 
= 
或 
= ．
在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，
∴点P1的坐标为（0，6）．
在图3的基础上，
当减小正方形边长时，
点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为 ：1；
当增加正方形边长时，存在 
= （图4）和 = （图5）两种情况．
如图4，
△EFP是等腰直角三角形，
有 
= ，
即 = ，
此时有AP∥OF．
在Rt△AOE中，∠AOE=45°，
∴OE= OA=6 ，
∴PE= OE=12，PA=PE+AE=18，
∴点P2的坐标为（﹣6，18）．
如图5，
过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF=n．
在Rt△POG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，
在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，
当 
= 时，
∴PO2=2PE2．
∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2m．
∵EO∥PH，
∴△AOE∽△AHP，
∴ 
= 
，
∴AH=4OA=24，
即OH=18，
∴m=9 ．
在等腰Rt△PRH中，PR=HR= 
PH=36，
∴OR=RH﹣OH=18，
∴点P3的坐标为（﹣18，36）．
当点F落在y轴负半轴时，
如图6，
P与A重合时，在Rt△POG中，OP= OG，
又∵正方形OGFE中，OG=OE，
∴OP= OE．
∴点P4的坐标为（﹣6，0）．
在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中
两边之比不可能为 ：1；当正方形边长增加时，存在 
= （图7）这一种情况．
如图7，过P作PR⊥x轴于点R，
设PG=n．
在Rt△OPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，
在Rt△PEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2．
当 = 时，
∴PE2=2PO2．
∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2，
∴n=2m，
由于NG=OG=m，则PN=NG=m，
∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴ 
=1，
即AN=OA=6．
在等腰Rt△ONG中，ON= m，
∴12= m，
∴m=6 ，
在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，
∴点P5的坐标为（﹣18，6）．
所以，△OEP的其中两边的比能为 ：1，点P的坐标是：P1（0，6），P2（﹣6，18），
P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）
【解析】（1）先判断出△AEO为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可；（2）判断出当AE⊥OQ时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可；（3）由△OEP的其中两边之比为 ：1分三种情况进行计算即可．此题是正方形的性质题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是灵活运用勾股定理进行计算．
