题目内容
【题目】如图,⊙O的半径OA⊥OC,点D在上,且
=2
,OA=4.
(1)∠COD= °;
(2)求弦AD的长;
(3)P是半径OC上一动点,连结AP、PD,请求出AP+PD的最小值,并说明理由.
(解答上面各题时,请按题意,自行补足图形)
【答案】(1)30;(2)弦AD长为4;(3)AP+PD的最小值为,理由见解析.
【解析】(本小题满分12分)
解:(1)30;……………………………………………………………………1分
(2)连结OD、AD(如图2).
∵OA⊥OC,∴∠AOC=90°.∵=2
,
设所对的圆心角∠COD=
,………………………………………………1分
则∠AOD=,…………………………………………………………………2分
由∠AOD+∠DOC=90°,
得+
=90°,∴
=30°,
=60°,…………………………3分
即∠AOD=60°,又∵OA=OD,∴△AOD为等边三角形,…………4分
∴AD=OA=4;…………………………………………………………………5分
(3)过点D作DE⊥OC,交⊙O于点E,……………………………………1分
连结AE,交OC于点P(如图3),………………………………………………2分
则此时,AP+PD的值最小.
∵根据圆的对称性,点E是点D关于OC的对称点,
OC是DE的垂直平分线,即PD=PE.………………………………………3分
∴AP+PD=AP+PE=AE,
若在OC上另取一点F,连结AF、FD及EF,
在△AFE中,AF+FE>AE,
即AF+FE>AP+PD,
∴可知AP+PD最小.…………………………………………………………4分
∵∠AED=∠AOD=30°,
又∵OA⊥OC,DE⊥OC,∴OA∥DE,
∴∠OAE=∠AED=30°.
延长AO交⊙O于点B,连结BE,∵AB为直径,
∴△ABE为直角三角形.由=cos∠BAE,……………………………5分
得AE=AB·cos30°=2×4×=
,……………………………6分
即AP+PD=,
[也可利用勾股定理求得AE]
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