Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE、BD且AE=AB。

（1）求证：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形。

Answer 1

（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证。
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根据等角对等边求出AB=AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可。

分析：（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证。
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根据等角对等边求出AB=AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可。
证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD。
∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB。
∴∠ABE=∠EAD。
（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE。
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB。
∴∠ABD=∠ABE－∠DBE=2∠ADB－∠ADB=∠ADB。∴AB=AD。
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形。