Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；
（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；
（3）假设直线x=1上是存在点M，使△MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．

解答：解：（1）方法一：∵抛物线过C（0，-6）
∴c=-6，即y=ax²+bx-6
由

- b 2a =2 144a+12b-6=0

解得：a=

1

16

，b=-

1

4

∴该抛物线的解析式为y=

1

16

x2-

1

4

x-6（3分）
方法二：∵A、B关于x=2对称
∴A（-8，0）
设y=a（x+8）（x-12）
C在抛物线上
∴-6=a×8×（-12）
即a=

1

16

∴该抛物线的解析式为：y=

1

16

x2-

1

4

x-6；（3分）

（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，
在Rt△AOC中，AC=

82+62

=10=AD，
∴点D在对称轴上，连接DQ，显然∠PDC=∠QDC （1分）
由已知∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC （1分）
∴DB=AB-AD=20-10=10，
∴DQ为△ABC的中位线，
∴DQ=

1

2

AC=5，（1分）
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分（1分）
在Rt△BOC中，BC=

62+122

=6

5

，
而DQ为△ABC的中位线，
∴CQ=3

5

，
∴点Q的运动速度为每秒

3

5

5

单位长度；（1分）

（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ=

92+32

=3

10

（1分）
①当MP=MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），
则：

-6=b 0=2k+b

解得：

b=-6 k=3

∴y=3x-6
当x=1时，y=-3，
∴M₁（1，-3）（1分）
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．
设直线x=1上存在点M（1，y），
则OP=3，点M的横坐标为1，纵坐标为y，根据勾股定理得PM₂²=4²+y²，
又PQ²=90，
则4²+y²=90，
即y=±

74

∴M₂（1，

74

），M3(1，-

74

)（1分）
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F（1，-3）
设直线x=1存在点M（1，y），由勾股定理得：
（y+3）²+5²=90即y=-3±

65

∴M4(1，-3+

65

)，M5(1，-3-

65

)（1分）
综上所述：存在这样的五点：
M₁（1，-3），M₂（1，

74

），M3(1，-

74

)，M4(1，-3+

65

)，M5(1，-3-

65

)．

点评：此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想．