Question

（2013•本溪一模）如图①，A，D分别在x轴，y轴上，AB∥y轴，DC∥x轴．点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周，若顺次连接P，O，D三点所围成的三角形的面积为S，点P运动的时间为t秒，已知S与t之间的函数关系如图②中折线O′EFGHM所示．
（1）点B的坐标为

（8，2）

；点C的坐标为

（5，6）

；
（2）若直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，求PD的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于点P从点D出发，根据图②中S与t的图象可知，点P按顺时针方向沿五边形OABCD的边作匀速运动，又运动速度为1个单位长度/秒，所以DC=5，BC=5，AB=2，AO=8，OD=6，由此得到点C的坐标；过点B作BP⊥OD于P，过点C作CQ⊥BP于Q，根据矩形的性质、勾股定理求出点B的坐标；
（2）先求出五边形OABCD的周长为26，根据直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分，确定点P的位置有两种可能的情况：①在AB的中点；②在OA上，并且距离点A3个单位长度．再分别表示出点P的坐标，然后运用待定系数法求出PD的解析式．

解答：解：（1）由题意，可知点P的运动路线是：D→C→B→A→O→D，DC=5，BC=10-5=5，AB=12-10=2，AO=20-12=8，OD=26-20=6，所以点C的坐标为（5，6）；
如图①，过点B作BP⊥OD于P，过点C作CQ⊥BP于Q，则四边形DCQP、ABPO均为矩形，PQ=DC=5，CQ=DP=OD-AB=6-2=4，
在Rt△BCQ中，∵∠BQC=90°，
∴BQ=

BC2-CQ2

=

52-42

=3，
∴BP=BQ+PQ=3+5=8，
∴点B的坐标为（8，2）；

（2）设PD的解析式为y=kx+b．
∵五边形OABCD的周长为：5+5+2+8+6=26，
∴直线PD将五边形OABCD的周长分为11：15两部分时，点P的位置有两种可能的情况：
①如果点P在AB的中点，那么DC+CB+BP=5+5+1=11，PA+AO+OD=1+8+6=15，点P的坐标为（8，1）．
∵P（8，1），D（0，6），
∴

8k+b=1 b=6

，解得

k=- 5 8 b=6

，
∴PD的解析式为y=-

5

8

x+6；
②如果点P在OA上，并且距离点A3个单位长度，那么DC+CB+BA+AP=5+5+2+3=15，PO+OD=8-3+6=11，点P的坐标为（5，0）．
∵P（5，0），D（0，6），
∴

5k+b=0 b=6

，解得

k=- 6 5 b=6

，
∴PD的解析式为y=-

6

5

x+6．
综上所述，PD的解析式为y=-

5

8

x+6或y=-

6

5

x+6．
故答案为（8，2），（5，6）．

点评：本题结合动点问题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，五边形的周长，一次函数的图象与性质，运用待定系数法求一次函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中．从函数图象中准确获取信息及利用分类讨论思想是解题的关键．