题目内容
一个多面体的面数(a)和这个多面体表面展开后得到的平面图形的顶点数(b),棱数(c)之间存在一定规律,如图1是正三棱柱的表面展开图,它原有5个面,展开后有10个顶点(重合的顶点只算一个),14条棱.
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201308/52867f548ecb4.png)
【探索发现】
(1)请在图2中用实线画出立方体的一种表面展开图;
(2)请根据图2你所画的图和图3的四棱锥表面展开图填写下表:
多面体 | 面数a | 展开图的顶点数b | 展开图的棱数c |
直三棱柱 | 5 | 10 | 14 |
四棱锥 | ______ | 8 | 12 |
立方体 | ______ | ______ | ______ |
【解决问题】
(4)已知一个多面体表面展开图有17条棱,且展开图的顶点数比原多面体的面数多2,则这个多面体的面数是多少?
解:(1)如图所示:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/52867f54a0c45.png)
(2)如图表:
(3)由图表中数据可得出:a+b-c=1.
故答案为:a+b-c=1.
(4)由题意可得出:
,
解得:
.
答:这个多面体的面数是八面体.
分析:(1)利用立方体侧面展开图的特点得出即可;
(2)利用图形特点分别得出面数、顶点数、棱数即可;
(3)结合(2)中数据即可得出a,b,c之间的关系;
(4)利用已知得出方程组求出即可.
点评:此题考查了几何体的展开图,利用图形中数据变化规律是解题关键.
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/52867f54a0c45.png)
(2)如图表:
多面体 | 面数a | 展开图的顶点数b | 展开图的棱数c |
直三棱柱 | 5 | 10 | 14 |
四棱锥 | 5 | 8 | 12 |
立方体 | 6 | 14 | 19 |
故答案为:a+b-c=1.
(4)由题意可得出:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/284359.png)
解得:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/284360.png)
答:这个多面体的面数是八面体.
分析:(1)利用立方体侧面展开图的特点得出即可;
(2)利用图形特点分别得出面数、顶点数、棱数即可;
(3)结合(2)中数据即可得出a,b,c之间的关系;
(4)利用已知得出方程组求出即可.
点评:此题考查了几何体的展开图,利用图形中数据变化规律是解题关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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