题目内容
【题目】如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=24,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=8,求DE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)成立;(3)20.
【解析】
试题分析:(1)由正方形的性质可以得出BC=CD,∠B=∠ADC=90°,通过证明△CBE≌△CDF就可以得出结论;
(2)由条件可以得出∠BCE+∠DCG=45°,就可以得出∠DCG+∠DCF=45°,就有∠ECG=∠FCG=45°,通过证明△GCE≌△GCF就可以得出GE=GF,进而得出结论;
(3)连接DE,在R△AED中,由勾股定理就可以得出DE的值.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠B=∠ADC=∠BCD=90°.
∴∠CDF=∠B=90°.
在△CBE和△CDF中
,
∴△CBE≌△CDF,
∴CE=CF;
(2)∵△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∵∠GCE=45°,
∴∠BCE+∠DCG=45°,
∴∠DCG+∠DCF=45°
∴∠ECG=∠FCG.
在GCE和△GCF中
,
∴GCE≌△GCF,
∴GE=GF.
∵GF=GD+DF,
∴GF=GD+BE,
∴GE=BE+GD;
(3)连接DE,
根据(1)(2)可知,ED=BE+DG,
设DE=x,则DG=x-8,
∴AD=AG-DG=32-x,AE=AB-BE=24-8=16.
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2,即x2=(32-x)2+162
解得:x=20.
∴DE=20.