题目内容

【题目】如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.

(1)求证:CE=CF;

(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:

如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=24,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=8,求DE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)成立;(3)20.

【解析】

试题分析:(1)由正方形的性质可以得出BC=CD,B=ADC=90°,通过证明CBE≌△CDF就可以得出结论;

(2)由条件可以得出BCE+DCG=45°,就可以得出DCG+DCF=45°,就有ECG=FCG=45°,通过证明GCE≌△GCF就可以得出GE=GF,进而得出结论;

(3)连接DE,在RAED中,由勾股定理就可以得出DE的值.

试题解析:(1)四边形ABCD是正方形,

BC=CD,B=ADC=BCD=90°

∴∠CDF=B=90°

CBE和CDF中

∴△CBE≌△CDF,

CE=CF;

(2)∵△CBE≌△CDF,

∴∠BCE=DCF.

∵∠GCE=45°

∴∠BCE+DCG=45°

∴∠DCG+DCF=45°

∴∠ECG=FCG.

在GCE和GCF中

GCE≌△GCF,

GE=GF.

GF=GD+DF,

GF=GD+BE,

GE=BE+GD;

(3)连接DE,

根据(1)(2)可知,ED=BE+DG,

设DE=x,则DG=x-8

∴AD=AG-DG=32-x,AE=AB-BE=24-8=16

在Rt△AED中

∵DE2=AD2+AE2,即x2=(32-x)2+162

解得:x=20.

∴DE=20.

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