题目内容
【题目】如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=24，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=8，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立；（3）20.
【解析】
试题分析：（1）由正方形的性质可以得出BC=CD，∠B=∠ADC=90°，通过证明△CBE≌△CDF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出∠BCE+∠DCG=45°，就可以得出∠DCG+∠DCF=45°，就有∠ECG=∠FCG=45°，通过证明△GCE≌△GCF就可以得出GE=GF，进而得出结论；
（3）连接DE，在R△AED中，由勾股定理就可以得出DE的值．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠CDF=∠B=90°．
在△CBE和△CDF中
，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°
∴∠ECG=∠FCG．
在GCE和△GCF中
，
∴GCE≌△GCF，
∴GE=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，
∴GE=BE+GD；
（3）连接DE，
根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x-8，
∴AD=AG-DG=32-x，AE=AB-BE=24-8=16．
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2，即x2=（32-x）2+162
解得：x=20．
∴DE=20．
