题目内容

【题目】如图:在平面直角坐标系中,点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上,且四边形ABCD为矩形,AB=4,点D与点A关于原点O成中心对称,tan∠ACB=,点E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、D重合),且∠CEF=∠ACB.

(1)求AC的长和点D的坐标;

(2)说明△AEF与△DCE相似;

(3)点M在第二象限,且在直线BC的下方,点N在平面内,是否存在这样点M,使得以点B、C、M、N为顶点的四边形是矩形,且矩形的长:宽=4:3?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)5;D(3,0);(2)证明见解析;(3)存在,M的坐标是(-3,).

【解析】

试题分析:(1)由tan∠ACB的值,求出cos∠ACB的值,再由矩形ABCO,以及AB的长,求出BC与AC的长,利用对称性确定出D坐标即可;

(2)由对称性得到∠CDE=∠CAO,利用等式的性质得到一对角相等,利用两角相等的三角形相似即可得证;

(3)根据题意得到点M在线段AB上,点N在y轴上,由于矩形的长:宽=4:3,得到,或,求得BM=或BM=4(不合题意,舍去),于是得到结论.

试题解析:(1)由题意tan∠ACB=

∴cos∠ACB=

∵四边形ABCO为矩形,AB=4,

∴BC==3,AC==5,

∴A点坐标为(-3,0),

∵点D与点A关于y轴对称,

∴D(3,0);

(2)点D与点A关于y轴对称,∴∠CDE=∠CAO,

∵∠CEF=∠ACB,∠ACB=∠CAO,

∴∠CDE=∠CEF,

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE(三角形外角性质)

∴∠AEF=∠DCE.

则在△AEF与△DCE中,∠CDE=∠CAO,∠AEF=∠DCE,

∴△AEF∽△DCE;

(3)存在,如图,

∵点M在第二象限,且在直线BC的下方,点N在平面内,

∵B、C、M、N为顶点的四边形是矩形,

∴点M在线段AB上,点N在y轴上,

∵矩形的长:宽=4:3,

,或

∵BC=3,

∴BM=或BM=4(不合题意,舍去),

∴M的坐标是(-3,).

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网