题目内容
【题目】如图，平行四边形ABCD中，D点在抛物线y= 
x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB= 
，M是抛物线与y轴的交点．
（1）求直线AC和抛物线的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动．问：当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？
（3）在（2）中当P运动到某处时，四边形PDCQ的面积最小，求此时△CMQ的面积．
【答案】
（1）
解：如图1，∵tan∠ACB= 
，
∴ 
= ，
∴设AO=3x，CO=4x，∵OB=OC，
∴BO=4x，
∴AB2=AO2+BO2，
则25=25x2，
解得：x=1（负数舍去），
∴AO=3，BO=CO=4，
∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），
∴设直线AC的解析式为：y=kx+d，
则 
，
解得： 
，
故直线AC的解析式为：y=﹣ x+3；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，
∴D（8，3），
∵B，D点都在抛物线y= 
x2+bx+c上，
∴ 
，
解得： 
，
故此抛物线解析式为：y= x2﹣ 
x﹣3
（2）
解：①如图2，∵OA=3，OB=4，
∴AC=5．
设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，
∴△APQ∽△CAO，
∴ 
= 
，即 
= 
，
解得：t= 
．
②如图3，
设点P运动了t秒时，当QP⊥AD，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
∵QP⊥AD，
∴∠APQ=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，
∴△AQP∽△CAO，
∴ 
= 
，即 
= 
，
解得：t= 
．
即当点P运动到距离A点 或 个单位长度处，△APQ是直角三角形
（3）
解：如图4，∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD= 
×8×3=12，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，
当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，
由△AQH∽△CAO可得： 
= ，
解得：h= 
（5﹣t），
∴S△APQ= t× （5﹣t）= 
（﹣t2+5t）=﹣ （t﹣ 
）2+ 
，
∴当t= 时，S△APQ达到最大值 ，此时S四边形PDCQ=12﹣ = 
，
故当点P运动到距离点A， 个单位处时，四边形PDCQ面积最小，
则AQ=QC= ，
故△CMQ的面积为： S△AMC= × ×4×6=6．
【解析】（1）首先利用锐角三角函数关系得出A，C点坐标，再求出一次函数解析式，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式；（2）设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO或△AQP∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；（3）只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置，进而得出Q的位置，进而得出△CMQ的面积．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．
