Question

已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．
求证：PD²=AD•HD．

Answer 1

解：如图，连接CH并延长交AB于E．
则CE⊥AB，
∴Rt△ABD∽Rt△CHD，
∴AD：CD=BD：HD，
∴AD•HD=BD•CD，
又△BPD∽△PCD，
∴BD：PD=PD：CD，
∴PD²=BD•CD，
∴PD²=AD•HD．
分析：连接GH并延长交AB于E，即可证明Rt△ABD∽Rt△CHD，即可求得AD：CD=BD：HD，根据△BPD∽△PCD即可求得BD：PD=PD：CD，即可解题．
点评：本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求证BD：PD=PD：CD是解题的关键．