题目内容

已知:如图,锐角三角形ABC内接于⊙O,∠ABC=45°;点D是
BC
上的一点,过精英家教网点D的切线DE交AC的延长线于点E,且DE∥BC;连接AD、BD、BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F.
(1)求证:△ABD∽△ADE;
(2)记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE,求证:S△DAF>S△BAE
分析:(1)利用切线的性质和垂径定理得到相等的弧,从而证得∠BDA=∠DEA,进而可以证得两个三角形相似;
(2)利用上题证明的相似三角形得到等积式AD2=AB•AE,表示出两个三角形的面积,比较即可.
解答:精英家教网证明:(1)连接OD,
∵DE是⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∵DE∥BC,
∴OD⊥BC,
∴弧BD=弧CD,
∴∠BAD=∠EAD
∵∠BDA=∠BCA,DE∥BC,
∴∠BDA=∠DEA,
∵∠BAD=∠EAD,
∴△ABD∽△ADE;

(2)由(1)得
AB
AD
=
AD
AE

即AD2=AB•AE,
设在△ABE中,AE边上的高为h,则S△ABE=
1
2
h•AE,
∵三角形ABC为锐角△,∴h<AB,
由∠ABC=45°,AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形,
∴S△ADF=
1
2
×AD×AF=
1
2
AD2
1
2
AD2=
1
2
AE×AB.
∵h<AB.
∴S△DAF>S△BAE
点评:本题考查了切线的性质及相似三角形的判定及性质,解题的关键是正确的证明两个三角形相似,并利用证得的相似三角形得到等积式.
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