题目内容
【题目】对任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以F(123)=6.
(1)计算:F(243),F(617);
(2)若s,t都是“相异数”,其中s=100x+32,t=150+y(1≤x≤9,1≤y≤9,x,y都是正整数),规定:k=,当F(s)+F(t)=18时,求k的最大值.
【答案】(1)F(243)=9,F(617)=14;(2).
【解析】
试题分析:(1)根据F(n)的定义式,分别将n=243和n=617代入F(n)中,即可求出结论;
(2)由s=100x+32、t=150+y结合F(s)+F(t)=18,即可得出关于x、y的二元一次方程,解之即可得出x、y的值,再根据“相异数”的定义结合F(n)的定义式,即可求出F(s)、F(t)的值,将其代入k=中,找出最大值即可.
试题解析:(1)F(243)=(423+342+234)÷111=9;
F(617)=(167+716+671)÷111=14.
(2)∵s,t都是“相异数”,s=100x+32,t=150+y,∴F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6.
∵F(t)+F(s)=18,∴x+5+y+6=x+y+11=18,∴x+y=7.
∵1≤x≤9,1≤y≤9,且x,y都是正整数,∴或或或或或.
∵s是“相异数”,∴x≠2,x≠3.
∵t是“相异数”,∴y≠1,y≠5,∴或或,∴或或,∴k==或k==1或k==,∴k的最大值为.