题目内容

【题目】如图1所示,等边ABC中,AD是BC边上的中线,根据等腰三角形的“三线合一”特性,AD平分BAC,且ADBC,则有BAD=30°BD=CD=AB.于是可得出结论“直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半”.

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题:

(1)如图2所示,在ABC中,ACB=90°,BC的垂直平分线交AB于点D,垂足为E,当BD=5cm,B=30°时,ACD的周长=   

(2)如图3所示,在ABC中,AB=AC,A=120°,D是BC的中点,DEAB,垂足为E,那么BE:EA=   

(3)如图4所示,在等边ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且AE=DC,AD、BE交于点P,作BQAD于Q,若BP=2,求BQ的长.

【答案】(1)15cm;(2)3:1;(3)BQ=

【解析】整体分析

(1)直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半求AC的长;(2)连接AD,由“三线合一”得∠BAD=60°,利用直角三角形中的30°角所对的直角边的性质,分别把BE,EA用BD表示;(3)证明△BAE≌△ACD,得∠BPQ=60°,结合勾股定理求解.

解:(1)∵DE是线段BC的垂直平分线,∠ACB=90°,

∴CD=BD,AD=BD.

又∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,

∴AC=AB,

∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm.

故答案为15cm;

(2)连接AD,如图所示.

∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中点,

∴∠BAD=60°.

又∵DE⊥AB,

∴∠B=∠ADE=30°,∴BE=BD,EA=AD,

∵BD=AD,∴EA=AD=BD.

∴BE:EA=BD: AD,

∴BE:AE=3:1.

故答案为3:1.

(3)∵△ABC为等边三角形.

∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,

在△BAE和△ACD中,

AE=CD,∠BAC=∠ACB,AB=AC,

∴△BAE≌△ACD(SAS),∴∠ABE=∠CAD.

∵∠BPQ为△ABP外角,

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD.∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°,

∵BQ⊥AD,

∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ=2,∴PQ=1,

∴BQ===

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