题目内容
如图所示,在直角梯形ABCD中,AB为垂直于底边的腰,AD=1,BC=2,AB=3,点E为CD上异于C,D的一个动点,过点E作AB的垂线,垂足为F,△ADE,△AEB,△BCE的面积分别为S1,S2,S3.
(1)设AF=x,试用x表示S1与S3的乘积S1S3,并求S1S3的最大值;
(2)设=t,试用t表示EF的长;
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,S22=4S1S3.
解:(1)∵S1=AD•AF=
x,S3=
BC•BF=
×2×(3﹣x)=3﹣x,
∴(0<x<3)。
∴当x= 时,S1S3的最大值为
。
(2)如图,作DM⊥BC,垂足为M,DM与EF交与点N,
∵=t,∴AF=tFB。
∵△DNE∽△DMC ,BM=MC=AD=1,
∴。∴NE=
,
∴EF=FN+NE=1+。
(3)∵AB=AF+FB=(t+1)FB=3,∴FB=。∴AF=tFB=
。
∴S1=AD•AF=
×
=
,S3=
BC•FB=
×2×
=
,
S2=AB•FE=
×3×
=
。
∴S1S3=,S22=
。
∴=4×
,即4t2﹣4t+1=0,解得t=
。
∴当t=时,S22=4S1S3。
解析试题分析:(1)直接根据三角形的面积公式解答即可。
(2)作DM⊥BC,垂足为M,DM与EF交与点N,根据=t,可知AF=tFB,再由△DNE∽△DMC 和BM=MC=AD=1可得出
,所以NE=
,根据EF=FN+NE即可得出结论。
(3)根据AB=AF+FB=(t+1)FB=3,可得出FB=,故可得出AF=tFB=
,根据三角形的面积公式可用t表示出S1,S3,S2,由s22=4S1S3.即可得出t的值。

练习册系列答案
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