Question

如图，在正方形ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，把△DCF绕点D按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合，且DC=

3

，∠CDF=30°．
（1）求DF的长度；
（2）求△DCF绕点D旋转所扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）在Rt△DCF中，DC=

3

，∠CDF=30°，解直角三角形，可求DF；
（2）△DCF绕点D旋转所扫过的面积，实际上就是S_△DCF+S_扇形DEF．

解答：解：（1）在Rt△DCF中，DC=

3

，∠CDF=30°，cos∠CDF=

DC

DF

，
∴cos30°=

3

DF

，
∴DF=2；

（2）在Rt△DCF中，∠CDF=30°，由（1）得：DF=2，
∴CF=1，
∵∠EDF=90°，
∴S_扇形DEF=

90×π×22

360

=π，
∴△DCF绕点D旋转所扫过的面积=S_△DCF+S_扇形DEF=

1

2

DC•CF+π=

1

2

×

3

×1+π=

3

2

+π．

点评：本题考查了解直角三角形的知识，同时又考查了线段绕其端点旋转的图形就是扇形，要求会用扇形面积公式．