Question

（2013•连云港模拟）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则AD=

7

．

Answer 1

分析：利用勾股定理列式求出AF，根据矩形的四个角都是直角可得∠ADC=∠C=90°，然后求出四边形CDFE是矩形，再根据角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠CED，然后求出∠CDE=∠CED，根据等角对等边的性质可得CD=CE，然后根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDFE是正方形，根据正方形的四条边都相等求出DF，再根据AD=AF+DF代入数据进行计算即可得解．

解答：解：∵EF⊥AD，EF=3，AE=5，
∴AF=

AE2-EF2

=

52-32

=4，
在矩形ABCD中，∠ADC=∠C=90°，
又∵EF⊥AD，
∴∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠ADC=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∴矩形CDFE是正方形，
∵EF=3，
∴DF=EF=3，
∴AD=AF+DF=4+3=7．
故答案为：7．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线定义，平行线的性质以及正方形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．