Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点M为AB的中点，点N为AD边上的一动点，将△AMN沿MN折叠，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD的对角线上时，AN的长度为_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分两种情况讨论，当点P落在BD上时，由折叠的性质可得AM=MP=BM，AN=NP，可证∠APB=90°，由余角的性质可得∠NPD=∠ADP，可得AN=NP=DN=；当点P在AC上时，通过证明△MAN∽△CBA，利用对应边成比例即可求解．

当点P落在BD上时，如图，

∵点M为AB的中点，

∴AM＝BM＝AB＝1，

∵将△AMN沿MN折叠，点A落在点P处，

∴AM＝MP，AN＝NP，

∴AM＝MP＝BM＝1，∠NAP＝∠NPA，

∴∠APB＝90°，

∴∠NAP+∠ADP＝90°，∠APN+∠NPD＝90°，

∴∠NPD＝∠ADP，

∴AN＝ND，

∴AN＝NP＝DN＝AD＝；

若点P落在AC上时，连接AC交MN于点H，如图，

∵将△AMN沿MN折叠，

∴AC⊥MN，

∵∠ABC+∠BCH+∠CHM+∠BMH＝360°，

∴∠BMH+∠BCH＝180°，

又∵∠AMN+∠BCH＝180°，

∴∠AMN＝∠BCH，

又∵∠MAN＝∠CBA＝90°，

∴△MAN∽△CBA，

∴，

∴AN＝，

故答案为：或．