题目内容

【题目】若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等,则称这个四边形为“奇妙四边形”.如图1,四边形ABCD中,若AC=BDACBD,则称四边形ABCD为奇妙四边形.根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质:“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半.根据以上信息回答:

(1)矩形 “奇妙四边形”(填“是”或“不是”);

(2)如图2,已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”,若⊙O的半径为6,∠BCD=60°.求“奇妙四边形”ABCD的面积;

(3)如图3,已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OMBCM.请猜测OMAD的数量关系,并证明你的结论.

【答案】(1)是;(2)54.(3)AD=2OM,证明见解析。

【解析】试题分析:(1)根据矩形的性质和奇妙四边形的定义进行判断;
(2)连结OB、OD,作OHBDH,如图2,根据垂径定理得到BH=DH,根据圆周角定理得到∠BOD=2BCD=120°,则利用等腰三角形的性质得∠OBD=30°,在RtOBH中可计算出BH=OH=3,BD=2BH=6,则AC=BD=6,然后根据奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半求解;
(3)连结OB、OC、OA、OD,作OEADE,如图3,根据垂径定理得到AE=DE,再利用圆周角定理得到∠BOM=BAC,AOE=ABD,再利用等角的余角相等得到∠OBM=AOE,则可证明BOM≌△OAE得到OM=AE,于是有OM=AD.

试题解析:(1)矩形的对角线相等但不垂直,
所以矩形不是奇妙四边形”;
故答案为不是;
(2)连结OB、OD,作OHBDH,如图2,则BH=DH,


∵∠BOD=2BCD=2×60°=120°
∴∠OBD=30°
RtOBH中,∵∠OBH=30°
OH=OB=3,
BH=OH=3
BD=2BH=6
AC=BD=6
奇妙四边形”ABCD的面积=×6×6=54;
(3)OM=AD.理由如下:
连结OB、OC、OA、OD,作OEADE,如图3,


OEAD,
AE=DE,
∵∠BOC=2BAC,
而∠BOC=2BOM,
∴∠BOM=BAC,
同理可得∠AOE=ABD,
BDAC,
∴∠BAC+ABD=90°
∴∠BOM+AOE=90°
∵∠BOM+OBM=90°
∴∠OBM=AOE,
BOMOAE

∴△BOM≌△OAE,
OM=AE,
OM=AD.

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