题目内容
【题目】若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等,则称这个四边形为“奇妙四边形”.如图1,四边形ABCD中,若AC=BD,AC⊥BD,则称四边形ABCD为奇妙四边形.根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质:“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半.根据以上信息回答:
(1)矩形 “奇妙四边形”(填“是”或“不是”);
(2)如图2,已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”,若⊙O的半径为6,∠BCD=60°.求“奇妙四边形”ABCD的面积;
(3)如图3,已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M.请猜测OM与AD的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)是;(2)54.(3)AD=2OM,证明见解析。
【解析】试题分析:(1)根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断;
(2)连结OB、OD,作OH⊥BD于H,如图2,根据垂径定理得到BH=DH,根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°,则利用等腰三角形的性质得∠OBD=30°,在Rt△OBH中可计算出BH=OH=3,BD=2BH=6,则AC=BD=6,然后根据奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解;
(3)连结OB、OC、OA、OD,作OE⊥AD于E,如图3,根据垂径定理得到AE=DE,再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC,∠AOE=∠ABD,再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE,则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE,于是有OM=AD.
试题解析:(1)矩形的对角线相等但不垂直,
所以矩形不是“奇妙四边形”;
故答案为不是;
(2)连结OB、OD,作OH⊥BD于H,如图2,则BH=DH,
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°,
∴∠OBD=30°,
在Rt△OBH中,∵∠OBH=30°,
∴OH=OB=3,
∴BH=OH=3,
∵BD=2BH=6,
∴AC=BD=6,
∴“奇妙四边形”ABCD的面积=×6×6=54;
(3)OM=AD.理由如下:
连结OB、OC、OA、OD,作OE⊥AD于E,如图3,
∵OE⊥AD,
∴AE=DE,
∵∠BOC=2∠BAC,
而∠BOC=2∠BOM,
∴∠BOM=∠BAC,
同理可得∠AOE=∠ABD,
∵BD⊥AC,
∴∠BAC+∠ABD=90°,
∴∠BOM+∠AOE=90°,
∵∠BOM+∠OBM=90°,
∴∠OBM=∠AOE,
在△BOM和△OAE中
∴△BOM≌△OAE,
∴OM=AE,
∴OM=AD.