题目内容

如图，直线l₁的解析表达式为y=x+1，且l₁与x轴交于点B（-1，0），与y轴交于点D．l₂与y轴的交点为C（0，-3），直线l₁、l₂相交于点A（2，3），结合图象解答下列问题：
（1）S_△ADC=；直线l₂表示的一次函数的解析式；
（2）当x为何值时，l₁、l₂表示的两个函数的函数值都大于0．
（3）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△ADP为等腰三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在说明理由．

解：（1）∵直线AB解析式为y=x+1，∴D（0，1），
又∵C（0，-3），∴CD=1-（-3）=4，
∴S_△ADC= $\text{[math]}$ ×4×2=4，
设直线l₂的解析式为y=kx+b，
将A（2，3），C（0，-3）两点代入，得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以，直线l₂的解析式为y=3x-3，

故答案为：4，y=3x-3；

（2）由直线l₁的解析式y=x+1，得B（-1，0），
由直线l₂的解析式y=3x-3，得E（1，0），
所以，当x＞1时，l₁、l₂表示的两个函数的函数值都大于0；

（3）存在．由勾股定理可知AD= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ＜3，
分三种情况：
①以A为圆心，AD为半径画弧，由于AD＜3，弧与x轴无交点，此时，P点不存在，
②以D为圆心，AD为半径画弧与x轴正半轴有1个交点，P（ $\text{[math]}$ ，0），
③作线段AD的垂直平分线，与x轴有1个交点，P（3，0），
即：满足题意的P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）或（3，0）．
分析：（1）由直线AB解析式为y=x+1可知，D（0，1），又C（0，-3），可知CD=4，而A点横坐标为2，由此可求S_△ADC，由A（2，3），C（0，-3），利用“两点法”可求直线l₂的解析式；
（2）由l₁、l₂的解析式可求B、E两点坐标，根据两点坐标，确定l₁、l₂表示的两个函数的函数值都大于0时，x的取值范围；
（3）存在．由勾股定理可知AD=2 $\text{[math]}$ ＜3，分三种情况：①以A为圆心，AD为半径画弧与x轴无交点，此时，P点不存在，②以D为圆心，AD为半径画弧与x轴正半轴有1个交点，此时，P点有1个，③作线段AD的垂直平分线，与x轴正半轴有1个交点，此时，P点有1个．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用待定系数法求一次函数解析式，根据解析式求图象与坐标轴的交点，形数结合．利用等腰三角形的性质，采用画弧，作垂直平分线的方法，在x轴上找等腰三角形的顶点坐标．