题目内容

如图,直线l1的解析表达式为y=x+1,且l1与x轴交于点B(-1,0),与y轴交于点D.l2与y轴的交点为C(0,-3),直线l1、l2相交于点A(2,3),结合图象解答下列问题:
(1)S△ADC=______;直线l2表示的一次函数的解析式______;
(2)当x为何值时,l1、l2表示的两个函数的函数值都大于0.
(3)在x轴的正半轴上是否存在点P,使得△ADP为等腰三角形?若存在,直接写出所有点P的坐标;若不存在说明理由.

解:(1)∵直线AB解析式为y=x+1,∴D(0,1),
又∵C(0,-3),∴CD=1-(-3)=4,
∴S△ADC=×4×2=4,
设直线l2的解析式为y=kx+b,
将A(2,3),C(0,-3)两点代入,得,解得
所以,直线l2的解析式为y=3x-3,
故答案为:4,y=3x-3;

(2)由直线l1的解析式y=x+1,得B(-1,0),
由直线l2的解析式y=3x-3,得E(1,0),
所以,当x>1时,l1、l2表示的两个函数的函数值都大于0;

(3)存在.由勾股定理可知AD==2<3,
分三种情况:
①以A为圆心,AD为半径画弧,由于AD<3,弧与x轴无交点,此时,P点不存在,
②以D为圆心,AD为半径画弧与x轴正半轴有1个交点,P(,0),
③作线段AD的垂直平分线,与x轴有1个交点,P(3,0),
即:满足题意的P点坐标为(,0)或(3,0).
分析:(1)由直线AB解析式为y=x+1可知,D(0,1),又C(0,-3),可知CD=4,而A点横坐标为2,由此可求S△ADC,由A(2,3),C(0,-3),利用“两点法”可求直线l2的解析式;
(2)由l1、l2的解析式可求B、E两点坐标,根据两点坐标,确定l1、l2表示的两个函数的函数值都大于0时,x的取值范围;
(3)存在.由勾股定理可知AD=2<3,分三种情况:①以A为圆心,AD为半径画弧与x轴无交点,此时,P点不存在,②以D为圆心,AD为半径画弧与x轴正半轴有1个交点,此时,P点有1个,③作线段AD的垂直平分线,与x轴正半轴有1个交点,此时,P点有1个.
点评:本题考查了一次函数的综合运用.关键是利用待定系数法求一次函数解析式,根据解析式求图象与坐标轴的交点,形数结合.利用等腰三角形的性质,采用画弧,作垂直平分线的方法,在x轴上找等腰三角形的顶点坐标.
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